Palmyra
28-08-2009, 00:50
KÜMELER
KÜME ve ELEMAN
Canl ya da cansız varlıkların oluşturduğu topluluğa küme denir.Kümeyi oluşturan her bir nesnenin adı da elemandır.
http://img200.imageshack.us/img200/8538/kumez.jpg
Küme kavramının matematiğe Georg Cantor (1845-1918) ile girdiği kabul edilir. Cantor'dan önce de, adına küme denilmese de, matematikçiler bu kavramı yer yer örtülü bir şekilde kullanıyorlardı.
Bir topluluğun küme olabilmesi için;
* Kümenin birbirinden farklı olan nesnelerden meydana gelmesi gerekir.
* Tanımlanan nesnenin, herkes tarafından aynı şekilde anlaşılması gerekir.
Örneğin; "Sınıftaki sevilen öğrenciler" ya da "Bazı yabani hayvanlar" veya "Okulumuzun birkaç öğretmeni" gibi ifadeler küme belirtmez.Çünkü bu ifadelerde kesinlik, belirleyicilik yoktur.Herkes tarafından aynı şekilde anlaşılmaz.Bunun yerine "Sınıfımızda Türkçe dersinden 100 alan öğrenciler" veya "Okulumuzdaki bayan öğretmenler" şeklindeki ifadeler küme belirtir.Çünkü bu ifadelere herkesin vereceği cevap aynı olur.
BOŞ KÜME: Hiç elemanı olmayan kümelerdir. "Uçan koyunlar" "5 yaşındaki lise ögrencileri" ifadelerinde, tanımlanan şekilde eleman olmadığından bu kümeler boş kümedir.
http://img208.imageshack.us/img208/5144/boskumegos.jpg
http://img214.imageshack.us/img214/7118/boskume1.jpg
* Kümeler A ve B gibi büyük harf ile adlandırılır.
http://img215.imageshack.us/img215/8892/kumeadlan.jpg
*Bir eleman bir kümeye ancak bir kez yazılır.
Örnek: AYAKKABI kelimesindeki harflerden oluşan kümeyi liste yöntemi ile yazalım.
A={A,Y,K,B,I} Dikkat ettiğiniz gibi A ve K harfleri sadece bir kez yazılmıştır.
*Elemanların yerlerinin değiştirilmesi kümeyi değiştirmez.
*Bir kümenin eleman sayısı s( ) şeklinde gösterilir.Örneğin A kümesinin eleman sayısı s( A ) olarak gösterilir.
*Bir elemanın kümeye ait olup olmadığı
http://img149.imageshack.us/img149/295/elemani.jpg
KÜMELERİN GÖSTERİLMESİ
Kümenin elemanları 3 yolla gösterilebilir.
1. Liste Yöntemi
Kümenin elemanları { } sembolü içine, her bir elemanın arasına virgül konularak yazılır.
A = {a, b, { b, c}} s(A) = 3 tür.
2. Ortak Özellik Yöntemi
Kümenin elemanlarını, ortak olan özelliklerini belirterek yazma yöntemidir.
A = { EKİM, KASIM, ARALIK } Kümenin elemanları sonbahar mevsiminin aylarıdır.Ortak özellikleri sonbaharın ayları olmalarıdır. Bu yüzden bu kümeyi A = { Sonbahar ayları } şeklinde gösterebiliriz.
B = { 2, 3, 4, 5 } Bu kümeyi ortak özellik yöntemine göre ya B = { 1 ile 6 arasındaki doğal sayılar } olarak, ya da
http://img268.imageshack.us/img268/1315/ortakzellik.jpg
3. Venn Şeması Yöntemi
Küme, kapalı bir eğri içinde her eleman bir nokta ile gösterilip, noktanın yanına elemanın adı yazılarak gösterilir.
http://img198.imageshack.us/img198/2972/vennc.jpg
Bu gösterime Venn Şeması ile gösterim denir.
EŞİT KÜME, DENK KÜME
Aynı elemanlardan oluşan kümelere eşit kümeler denir.
http://img12.imageshack.us/img12/5788/etkumeler.jpg
Eleman sayıları eşit olan kümelere denk kümeler denir.
http://img149.imageshack.us/img149/3692/denkkumeler.jpg
Eşit olan kümeler ayın zamanda denktir. Fakat denk kümeler eşit olmayabilir.
EVRENSEL KÜME:
Bir konu ile ilgili olarak tüm kümeleri kapsayan kümedir.
A={Yılın E harfi ile başlayan ayları } B={Yılın ayları }
A={eylül, ekim } B={ocak, şubat, mart, nisan, mayıs, haziran, temmuz, ağustor, eylül, ekim, kasım, aralık}
Yukarıda görüldüğü gibi A kümesinin tüm elemanları B kümesinin de elemanıdır.Bu durumda B kümesi A kümesinin evrensel kümesidir.
Evrensel küme E harfi ile gösterilir.
ALT KÜME VE KAPSAMA
Oyaların ailesi; anne, baba, Oya ve erkek kardeşi Tuna'dan oluşan bir küme olsun. A ={ anne, baba, Oya, Tuna }
Ailenin çocukları başka bir kümedir. Ç ={ Oya, Tuna }
Anne ve babadan oluşan büyükler diğer bir kümedir. B ={ anne, baba }
Çocukların ve büyüklerin bulunduğu kümedeki tüm kişiler aile kümesinde mevcuttur.
Bunun gibi bir kümenin bütün elemanları diğer kümede de varsa, bu küme diğer kümenin alt kümesidir denir.
Bir Kümenin Alt Küme Sayısını Hesaplama
A = { anne, baba, Oya, Tuna } kümesinin bir elemanlı alt kümeleri:
http://img132.imageshack.us/img132/9240/1elemanlialtkum.jpg
İki elemanlı alt kümeleri
http://img215.imageshack.us/img215/7499/2elemanlaltkum.jpg
Üç elemanlı alt kümeleri
http://img142.imageshack.us/img142/7271/3elemanlaltkum.jpg
Dört elemanlı alt kümeleri
http://img207.imageshack.us/img207/6546/4elemanlaltkum.jpg
Not: Her küme aynı zamanda kendisinin alt kümesidir.
Not: Boş küme her kümenin alt kümesidir.
Buna göre yukarıdaki kümenin alt küme sayısı 16'dır.
http://img221.imageshack.us/img221/3456/altkumefor.jpg
NOT: 2 rakamının üzerindeki n harfi kümedeki eleman sayısını gösterir.
Alt küme sayısı verilen bir kümenin kaç elemanı olduğunu bulmak için de 2'ye ardışık bölme işleminden yararlanılır.
ÖRNEK:Alt kümelerinin sayısı 32 olan bir küme kaç elemanlıdır?
Çözüm:32 sayısı 0 kalana kadar 2 ye bölünür. Kaç defa bölme işlemi yapılmışsa kümenin o sayıda elemanı vardır.
32:2 = 16
16:2 = 8
8 : 2 = 4
4 : 2 = 2
2 : 2 = 1
Yukarıda 5 kez bölme işlemi yapılmıştır.Öyle ise bu kümenin 5 elemanı vardır.
ÖZ ALT KÜME:
Alt küme tanımı içerisinden, kümenin kendisi çıkarılınca oluşan kümelerdir. Yani bir kümenin, kendisinden farklı bütün alt kümelerine o kümenin özalt kümeleri denir.
Bir kümenin özalt kümelerinin sayısını bulmak için alt küme sayısı bulunup 1 çıkarılır.
ÖRNEK:3 elemanlı bir kümenin öz alt küme sayısı kaçtır?
2' yi, kümenin eleman sayısı kadar kendisi ile çarptığımızda alt küme sayısını buluyorduk.Öyle ise;
2 x 2 x 2 = 8 (alt küme sayısı)
8 - 1 = 7 öz alt küme sayısı
KAPSAMA:
Bir küme diğer kümeyi tamamen içine alıyorsa; o küme diğerini kapsar denir.Başka bir deyişle kümenin tüm elemanları diğer kümede de varsa, küme ilk kümeyi kapsar.
http://img412.imageshack.us/img412/8751/kapsama.jpg
KÜMELERDE İŞLEMLER
KÜMELERDE BİRLEŞİM:
İki veya daha fazla kümenin, tüm elemanlarının birleşmesinden oluşan yeni kümeye, bu kümelerin birleşim kümesi denir.
ÖRNEK:A={1,2,3} ve B={2,4} ise bu kümelerin birleşim kümesi nedir?
http://img27.imageshack.us/img27/5922/kumbirlesim.jpg
Kümelerin ortak elemanları, birleşim kümesinde bir kez yazılır.
Hiç ortak elemanı olmayan kümelere,ayrık kümeler denir.
http://img35.imageshack.us/img35/6892/ayrikkume.jpg
A ve B kümeleri hiç ortak elemanları olmadıkları için ayrık kümelerdir.
*Kümeler arasındaki birleşim işleminin değişme özelliği vardır.
http://img15.imageshack.us/img15/3869/kumelerdedegisme.jpg
*Bir kümenin boş küme ile birleşimi ,kendisine eşittir
http://img399.imageshack.us/img399/8351/boskumeilebir.jpg
KÜMELERDE KESİŞİM
İki kümede bulunan aynı elemanlara ortak elemanlar denir.
ÖRNEK:A={a,b,c,ed} ve B={1,2,b,e}ise ortak elemanlar b ve e olur.
Kümelerin ortak elemanlarından oluşan kümeye kesişim kümesi denir.
http://img257.imageshack.us/img257/7882/kumkesiim.jpg
*Bir küme diğer kümenin alt kümesi ise, bu iki kümenin kesişimi alt kümedir.
http://img196.imageshack.us/img196/8615/kumkesisim1.jpg
*Bir kümenin boş küme ile kesişimi boş kümedir.Çünkü hiç ortak eleman yoktur.
http://img136.imageshack.us/img136/8605/kesisim2.jpg
*Kümelerde yapılan kesişim işleminin değişme özelliği vardır.
http://img140.imageshack.us/img140/7268/kessmdedegsme.jpg
KÜMELERDE FARK
Kümelerde fark; bir kümede olup, diğer kümede olmayan elemanlardan oluşur.
http://img380.imageshack.us/img380/1148/kumelerdefark.jpg
A={a,b,c,e,d} B={a,c,m,p} ise A / B = {b,e,d} B / A ={m,p} olur.
Dostyakasi Dershane (http://www.dostyakasi.com/dost-dershane/) Bu bölümde yer alan bu konu Dostyakasi forumun Öğretmen uyesi Palmyra tarafindan hazirlanmaktadir. lütfen izinsiz kullanmayınız.
KÜME ve ELEMAN
Canl ya da cansız varlıkların oluşturduğu topluluğa küme denir.Kümeyi oluşturan her bir nesnenin adı da elemandır.
http://img200.imageshack.us/img200/8538/kumez.jpg
Küme kavramının matematiğe Georg Cantor (1845-1918) ile girdiği kabul edilir. Cantor'dan önce de, adına küme denilmese de, matematikçiler bu kavramı yer yer örtülü bir şekilde kullanıyorlardı.
Bir topluluğun küme olabilmesi için;
* Kümenin birbirinden farklı olan nesnelerden meydana gelmesi gerekir.
* Tanımlanan nesnenin, herkes tarafından aynı şekilde anlaşılması gerekir.
Örneğin; "Sınıftaki sevilen öğrenciler" ya da "Bazı yabani hayvanlar" veya "Okulumuzun birkaç öğretmeni" gibi ifadeler küme belirtmez.Çünkü bu ifadelerde kesinlik, belirleyicilik yoktur.Herkes tarafından aynı şekilde anlaşılmaz.Bunun yerine "Sınıfımızda Türkçe dersinden 100 alan öğrenciler" veya "Okulumuzdaki bayan öğretmenler" şeklindeki ifadeler küme belirtir.Çünkü bu ifadelere herkesin vereceği cevap aynı olur.
BOŞ KÜME: Hiç elemanı olmayan kümelerdir. "Uçan koyunlar" "5 yaşındaki lise ögrencileri" ifadelerinde, tanımlanan şekilde eleman olmadığından bu kümeler boş kümedir.
http://img208.imageshack.us/img208/5144/boskumegos.jpg
http://img214.imageshack.us/img214/7118/boskume1.jpg
* Kümeler A ve B gibi büyük harf ile adlandırılır.
http://img215.imageshack.us/img215/8892/kumeadlan.jpg
*Bir eleman bir kümeye ancak bir kez yazılır.
Örnek: AYAKKABI kelimesindeki harflerden oluşan kümeyi liste yöntemi ile yazalım.
A={A,Y,K,B,I} Dikkat ettiğiniz gibi A ve K harfleri sadece bir kez yazılmıştır.
*Elemanların yerlerinin değiştirilmesi kümeyi değiştirmez.
*Bir kümenin eleman sayısı s( ) şeklinde gösterilir.Örneğin A kümesinin eleman sayısı s( A ) olarak gösterilir.
*Bir elemanın kümeye ait olup olmadığı
http://img149.imageshack.us/img149/295/elemani.jpg
KÜMELERİN GÖSTERİLMESİ
Kümenin elemanları 3 yolla gösterilebilir.
1. Liste Yöntemi
Kümenin elemanları { } sembolü içine, her bir elemanın arasına virgül konularak yazılır.
A = {a, b, { b, c}} s(A) = 3 tür.
2. Ortak Özellik Yöntemi
Kümenin elemanlarını, ortak olan özelliklerini belirterek yazma yöntemidir.
A = { EKİM, KASIM, ARALIK } Kümenin elemanları sonbahar mevsiminin aylarıdır.Ortak özellikleri sonbaharın ayları olmalarıdır. Bu yüzden bu kümeyi A = { Sonbahar ayları } şeklinde gösterebiliriz.
B = { 2, 3, 4, 5 } Bu kümeyi ortak özellik yöntemine göre ya B = { 1 ile 6 arasındaki doğal sayılar } olarak, ya da
http://img268.imageshack.us/img268/1315/ortakzellik.jpg
3. Venn Şeması Yöntemi
Küme, kapalı bir eğri içinde her eleman bir nokta ile gösterilip, noktanın yanına elemanın adı yazılarak gösterilir.
http://img198.imageshack.us/img198/2972/vennc.jpg
Bu gösterime Venn Şeması ile gösterim denir.
EŞİT KÜME, DENK KÜME
Aynı elemanlardan oluşan kümelere eşit kümeler denir.
http://img12.imageshack.us/img12/5788/etkumeler.jpg
Eleman sayıları eşit olan kümelere denk kümeler denir.
http://img149.imageshack.us/img149/3692/denkkumeler.jpg
Eşit olan kümeler ayın zamanda denktir. Fakat denk kümeler eşit olmayabilir.
EVRENSEL KÜME:
Bir konu ile ilgili olarak tüm kümeleri kapsayan kümedir.
A={Yılın E harfi ile başlayan ayları } B={Yılın ayları }
A={eylül, ekim } B={ocak, şubat, mart, nisan, mayıs, haziran, temmuz, ağustor, eylül, ekim, kasım, aralık}
Yukarıda görüldüğü gibi A kümesinin tüm elemanları B kümesinin de elemanıdır.Bu durumda B kümesi A kümesinin evrensel kümesidir.
Evrensel küme E harfi ile gösterilir.
ALT KÜME VE KAPSAMA
Oyaların ailesi; anne, baba, Oya ve erkek kardeşi Tuna'dan oluşan bir küme olsun. A ={ anne, baba, Oya, Tuna }
Ailenin çocukları başka bir kümedir. Ç ={ Oya, Tuna }
Anne ve babadan oluşan büyükler diğer bir kümedir. B ={ anne, baba }
Çocukların ve büyüklerin bulunduğu kümedeki tüm kişiler aile kümesinde mevcuttur.
Bunun gibi bir kümenin bütün elemanları diğer kümede de varsa, bu küme diğer kümenin alt kümesidir denir.
Bir Kümenin Alt Küme Sayısını Hesaplama
A = { anne, baba, Oya, Tuna } kümesinin bir elemanlı alt kümeleri:
http://img132.imageshack.us/img132/9240/1elemanlialtkum.jpg
İki elemanlı alt kümeleri
http://img215.imageshack.us/img215/7499/2elemanlaltkum.jpg
Üç elemanlı alt kümeleri
http://img142.imageshack.us/img142/7271/3elemanlaltkum.jpg
Dört elemanlı alt kümeleri
http://img207.imageshack.us/img207/6546/4elemanlaltkum.jpg
Not: Her küme aynı zamanda kendisinin alt kümesidir.
Not: Boş küme her kümenin alt kümesidir.
Buna göre yukarıdaki kümenin alt küme sayısı 16'dır.
http://img221.imageshack.us/img221/3456/altkumefor.jpg
NOT: 2 rakamının üzerindeki n harfi kümedeki eleman sayısını gösterir.
Alt küme sayısı verilen bir kümenin kaç elemanı olduğunu bulmak için de 2'ye ardışık bölme işleminden yararlanılır.
ÖRNEK:Alt kümelerinin sayısı 32 olan bir küme kaç elemanlıdır?
Çözüm:32 sayısı 0 kalana kadar 2 ye bölünür. Kaç defa bölme işlemi yapılmışsa kümenin o sayıda elemanı vardır.
32:2 = 16
16:2 = 8
8 : 2 = 4
4 : 2 = 2
2 : 2 = 1
Yukarıda 5 kez bölme işlemi yapılmıştır.Öyle ise bu kümenin 5 elemanı vardır.
ÖZ ALT KÜME:
Alt küme tanımı içerisinden, kümenin kendisi çıkarılınca oluşan kümelerdir. Yani bir kümenin, kendisinden farklı bütün alt kümelerine o kümenin özalt kümeleri denir.
Bir kümenin özalt kümelerinin sayısını bulmak için alt küme sayısı bulunup 1 çıkarılır.
ÖRNEK:3 elemanlı bir kümenin öz alt küme sayısı kaçtır?
2' yi, kümenin eleman sayısı kadar kendisi ile çarptığımızda alt küme sayısını buluyorduk.Öyle ise;
2 x 2 x 2 = 8 (alt küme sayısı)
8 - 1 = 7 öz alt küme sayısı
KAPSAMA:
Bir küme diğer kümeyi tamamen içine alıyorsa; o küme diğerini kapsar denir.Başka bir deyişle kümenin tüm elemanları diğer kümede de varsa, küme ilk kümeyi kapsar.
http://img412.imageshack.us/img412/8751/kapsama.jpg
KÜMELERDE İŞLEMLER
KÜMELERDE BİRLEŞİM:
İki veya daha fazla kümenin, tüm elemanlarının birleşmesinden oluşan yeni kümeye, bu kümelerin birleşim kümesi denir.
ÖRNEK:A={1,2,3} ve B={2,4} ise bu kümelerin birleşim kümesi nedir?
http://img27.imageshack.us/img27/5922/kumbirlesim.jpg
Kümelerin ortak elemanları, birleşim kümesinde bir kez yazılır.
Hiç ortak elemanı olmayan kümelere,ayrık kümeler denir.
http://img35.imageshack.us/img35/6892/ayrikkume.jpg
A ve B kümeleri hiç ortak elemanları olmadıkları için ayrık kümelerdir.
*Kümeler arasındaki birleşim işleminin değişme özelliği vardır.
http://img15.imageshack.us/img15/3869/kumelerdedegisme.jpg
*Bir kümenin boş küme ile birleşimi ,kendisine eşittir
http://img399.imageshack.us/img399/8351/boskumeilebir.jpg
KÜMELERDE KESİŞİM
İki kümede bulunan aynı elemanlara ortak elemanlar denir.
ÖRNEK:A={a,b,c,ed} ve B={1,2,b,e}ise ortak elemanlar b ve e olur.
Kümelerin ortak elemanlarından oluşan kümeye kesişim kümesi denir.
http://img257.imageshack.us/img257/7882/kumkesiim.jpg
*Bir küme diğer kümenin alt kümesi ise, bu iki kümenin kesişimi alt kümedir.
http://img196.imageshack.us/img196/8615/kumkesisim1.jpg
*Bir kümenin boş küme ile kesişimi boş kümedir.Çünkü hiç ortak eleman yoktur.
http://img136.imageshack.us/img136/8605/kesisim2.jpg
*Kümelerde yapılan kesişim işleminin değişme özelliği vardır.
http://img140.imageshack.us/img140/7268/kessmdedegsme.jpg
KÜMELERDE FARK
Kümelerde fark; bir kümede olup, diğer kümede olmayan elemanlardan oluşur.
http://img380.imageshack.us/img380/1148/kumelerdefark.jpg
A={a,b,c,e,d} B={a,c,m,p} ise A / B = {b,e,d} B / A ={m,p} olur.
Dostyakasi Dershane (http://www.dostyakasi.com/dost-dershane/) Bu bölümde yer alan bu konu Dostyakasi forumun Öğretmen uyesi Palmyra tarafindan hazirlanmaktadir. lütfen izinsiz kullanmayınız.